FC2ブログ


フェルマーの最終定理とは

「3 以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせは存在しない」

という定理です。

御存知の方も多いと思いますが。

この定理、17世紀にフェルマーというフランス人が

「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」

と書いて以来、色んな数学者がチャレンジしたにも関わらず、誰一人として証明することはできませんでした。

結局、最終的な証明がなされたのは、フェルマーの書き残しから360年後の1994年。

アンドリュー・ワイルズという、イギリス人数学者によって証明されました。


この定理の証明は、時系列的に

1.個別研究
2.近代的アプローチ
3.最終解決

という段階を経ます。


1.個別研究

n=4はフェルマーが、n=3はオイラーが、n=5はソフィ・ジェルマンが、n=7はラメが

それぞれ証明します。

その後、クンマーが理想数の理論を用いて100までのすべての素数について証明します。

因みに、ある素数を証明した場合、その素数を約数にもつ数はすべて証明したことになります。


2.近代的アプローチ

ポアンカレ(1854~1912)によって、複素数平面上の関数の研究からモジューラ形式が提案されます。

もうこの辺からよく分かりませんね(笑)。

モーデルによってフェルマー方程式 x^n + y^n = z^n が整数解をもつならば(つまりフェルマー予想が誤りならば)その解の個数は本質的に有限個しかないことが証明されます。

この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞込みには行き詰まりが指摘されていますが、ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい」ことが判明したと言うことはできたことになります。

そしてフライ・セール予想。

1.まず、フェルマー予想が偽である(フェルマー方程式が自然数解をもつ)と仮定する。
2.この自然数解からは、モジュラーでない楕円曲線を作ることができる。
3.谷山・志村予想が正しいならば、モジュラーでない楕円曲線は存在しない。
4.矛盾が導かれたので、当初の仮定が誤っていることとなる。
5.したがって、フェルマー予想は真である。(背理法)

因みに、谷山・志村予想とは「すべての楕円曲線はモジュラーである」というものです。


3.最終解決

谷山・志村予想を証明すれば、フェルマーの最終定理を証明することになります。

そこで、アンドリュー・ワイルズがこの証明に取り組み、1993年6月21日~23日、ケンブリッジ大学で特別講義を行い、そこで証明を披露します。



いや~、めちゃくちゃドラマチックですよね!!

フェルマーの最終定理のすごいところは、中学生でも理解できるレベルの定理で、証明に360年もかかったことです。

そして、その証明に日本人数学者もかなり貢献しています。

しかし、フェルマーが思いついた証明はどんなものだったかが気になります・・・。
スポンサーサイト



2010.07.25 Sun l Learning l コメント (0) トラックバック (0) l top

コメント

コメントの投稿












トラックバック

トラックバック URL
http://ryryry.blog57.fc2.com/tb.php/930-5a53375d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)